杰拉斯的博客

免费馅饼

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Description

都说天上不会掉馅饼，但有一天gameboy正走在回家的小径上，忽然天上掉下大把大把的馅饼。说来gameboy的人品实在是太好了，这馅饼别处都不掉，就掉落在他身旁的10米范围内。馅饼如果掉在了地上当然就不能吃了，所以gameboy马上卸下身上的背包去接。但由于小径两侧都不能站人，所以他只能在小径上接。由于gameboy平时老呆在房间里玩游戏，虽然在游戏中是个身手敏捷的高手，但在现实中运动神经特别迟钝，每秒种只有在移动不超过一米的范围内接住坠落的馅饼。现在给这条小径如图标上坐标：

为了使问题简化，假设在接下来的一段时间里，馅饼都掉落在0-10这11个位置。开始时gameboy站在5这个位置，因此在第一秒，他只能接到4,5,6这三个位置中其中一个位置上的馅饼。问gameboy最多可能接到多少个馅饼？（假设他的背包可以容纳无穷多个馅饼）

Input

输入数据有多组。每组数据的第一行为以正整数n(0<n<100000)，表示有n个馅饼掉在这条小径上。在结下来的n行中，每行有两个整数x,T(0<T<100000),表示在第T秒有一个馅饼掉在x点上。同一秒钟在同一点上可能掉下多个馅饼。n=0时输入结束。

Output

每一组输入数据对应一行输出。输出一个整数m，表示gameboy最多可能接到m个馅饼。
提示：本题的输入数据量比较大，建议用scanf读入，用cin可能会超时。

Sample Input

6
5 1
4 1
6 1
7 2
7 2
8 3
0

Sample Output

4

Source

HDU1176

设a[i][j]为第i秒的j位置掉下的馅饼数量，f[i][j]为第i秒在j位置接馅饼最多可以接到的最多馅饼数量。由于每秒只能移动一个位置，因此这一状态可能由三种情况达到：

1. f[i - 1][j - 1]
2. f[i - 1][j]
3. f[i - 1][j + 1]

这三种情况中的最大值加上当前位置可以接到的馅饼数即是当前位置可以接到的最大馅饼数量：

f[i][j] = max(f[i - 1][j - 1], f[i - 1][j], f[i - 1][j + 1]) + a[i][j];

可以看出，当前状态与之前同一阶段的多个状态有关，而类似于Ugly Numbers等动态规划中的每一阶段都只有一个状态，为区分两者，我将它称为二维动态规划。当然，这道题只是二维动态规划中最简单的一种罢了。

但需要注意的是下面这种情况：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int a[12][100002];
int f[12][100002];
int main(){
	int n;
	while(scanf("%d", &n) != EOF && n){
		memset(a, 0, sizeof(a));
		memset(f, 0, sizeof(f));
		int x, T, i, j, maxT = 0, ans = 0;
		while(n--){
			scanf("%d%d", &x, &T);
			++a[x][T];
			maxT = max(maxT, T);
		}
		for(i = 0; i < 11; ++i){
			for(j = 1; j <= maxT; ++j){
				if(j == 1 && (i < 4 || i > 6)){
					continue;
				}
				f[i][j] = f[i][j - 1];
				f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - 1]);
				f[i][j] = max(f[i][j], f[i + 1][j - 1]);
				f[i][j] += a[i][j];
			}
		}
		for(i = 0; i < 11; ++i)
			ans = max(ans, f[i][maxT]);
		printf("%d\n", ans);
	}
	return 0;
}

这段代码看似没错，但必然是Wrong Answer，因为阶段划分错误，即将位置作为了阶段，先算出一个位置所有时间的状态，再计算下一位置所有时间的状态，但实际上状态与上一时间的下一位置有关，而该值却尚未算出，因此运行结果必然是错误的。

二维动态规划阶段的划分应该正确地选择，这也是与一维动态规划的一点区别之处吧。

正确代码如下：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int a[100001][12];
int f[100001][12];
int main(){
	int n;
	while(scanf("%d", &n) != EOF && n){
		memset(a, 0, sizeof(a));
		memset(f, 0, sizeof(f));
		int x, T, i, j, maxT = 0, ans = 0;
		while(n--){
			scanf("%d%d", &x, &T);
			++a[T][x];
			maxT = max(maxT, T);
		}
		f[1][4] = a[1][4];
		f[1][5] = a[1][5];
		f[1][6] = a[1][6];
		for(i = 2; i <= maxT; ++i){
			for(j = 0; j < 11; ++j){
				f[i][j] = f[i - 1][j];
				if(j > 0)
					f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - 1]);
				if(j < 10)
					f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j + 1]);
				f[i][j] += a[i][j];
				//printf("%d ", f[i][j]);
			}
			//printf("\n");
		}
		for(i = 0; i < 11; ++i)
			ans = max(ans, f[maxT][i]);
		printf("%d\n", ans);
	}
	return 0;
}

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